Archive

Archive for the ‘Classroom’ Category

Tahap-tahap Kemampuan Awal Berhitung Pada Anak

Berdasarkan penelitian Steffe.et.al, Wright, Martland, Stafford (2006) mengajukan teori tentang tahap-tahap perkembangan kemampuan berhitung awal pada anak, sebagai berikut:

–          Tahap Emergent : pada tahap ini anak belum mampu untuk menghitung banyaknya benda meskipun benda itu terlihat dengan jelas. Anak mungkin belum mampu untuk menyebut nama-nama bilangan dengan benar atau belum mampu untuk melakukan korespondensi satu persatu antara benda yang dihitung dengan nama-nama bilangannya

–          Tahap Perceptual: pada tahap ini anak sudah mampu untuk menghitung banyaknya benda apabila benda tersebut terlihat secara nyata, apabila benda itu tidak nampak maka dia tidak akan mampu untuk menghitungnya. Sebagai contoh ketika di sajikan 4  manik  merah, kemudian ditambahkan 3 manik biru dan anak diminta untuk menghitung jumlah manik keseluruhan, anak tersebut mampu menghitung dengan benar. Namun ketika manik-manik ditutup dengan kertas, anak tidak  mampu menghitungnya.

–          Tahap Figurative: pada tahap ini anak sudah mampu menghitung benda-benda, meskipun benda-benda tersebut tidak terlihat. Anak sudah mampu membayangkan atau menggunakan ‘pengganti’ seperti memakai jari-jari tangannya. Pada tahap ini anak biasanya menghitung mulai satu.  Jadi ketika disajikan 4 manik merah dan 3 manik biru dan kemudian manik itu di tutup dengan kertas, anak dalam tahap figurative akan berhasil menghitung jumlahnya dengan benar : ‘satu..dua…tiga…empat….sampai tujuh’.

–          Tahap Count on: Pada tahap ini anak mampu menghitung benda-benda yang tidak terlihat dan dalam menghitung mereka tidak memulai dari satu. Sebagai contoh dalam persoalan 4 manik merah dan 3 manik biru di atas, seorang anak di tahap ini akan menghitung dengan menyimpan 4 di otak, kemudian menghitung maju mulai: lima, enam, tujuh. Hasilnya tujuh

–          Tahap Facile: Dalam tahap ini anak sudah menggunakan strategi-strategi yang tidak melibatkan menghitung satu persatu. Anak sudah mampu menggunakan strategi misalnya menghitung secara lompat, menghitung lewat bilangan 10, ataupun menggunakan sifat komutatif. Sebagai contoh ketika disajikan persoalan 7+5, anak dalam tingkat facile akan meghitung dengan menambahkan 3 pada 7, menjadi 10 dan menambahkannya dengan 2.  [[rum]]

 

Sumber : Wright, R. J., Martland, J., & Stafford, A. K. (2006). Early numeracy: assesment for teaching and intervention. London: Paul Chapman Publishing/Sage

Download RINGAN Edisi 18, Maret 2011

Advertisements

Membaca Definisi

February 24, 2011 Leave a comment

Berikut ini adalah langkah-langkah untuk membaca definisi suatu konsep matematika:

  • Hubungkan konsep dengan hal-hal yang sudah diketahui.
  • Tuliskan dan pelajari beberapa contoh. Pemahaman tentang beberapa kasus tertentu akan membantu dalam pemahaman konsep yang lebih umum.
  • Daftarkan beberapa yang bukan contoh (hal-hal yang tidak memenuhi definisi).
  • Tanyakan ke diri sendiri mengapa konsep tersebut dimunculkan.
  • Tuliskan definisi konsep tersebut ke dalam kata-kata kita sendiri untuk membantu kita mengingat dan mengecek apakah kita sudah memahami konsep tersebut.

Contoh definisi:

Definisi fungsi polinom:

Suatu fungsi polinom berderajat n dapat dinyatakan dengan persamaan dalam bentuk

dengan koefisien-koefisien adalah bilangan-bilangan real, , dan n adalah bilangan bulat nonnegatif.

Contoh fungsi polinom:

Analisis:

  • Berhubungan dengan: polinom, fungsi linear
  • Contoh tambahan:
  • Bukan contoh:
  • Mengapa definisi ini perlu: definisi ini memperluas konsep fungsi linear dan fungsi kuadrat.
  • Kata-kata sendiri: suatu fungsi polinom adalah jumlah dari monomial (suku) dalam satu variabel, dengan koefisien-koefisiennya adalah bilangan real dan bagian eksponennya adalah bilangan cacah.

Sumber:

Edwards, Lois, 2002, Reading and Writing in the Mathematics Classroom, Columbus, OH: McGraw-Hill Companies.

Download RINGAN Edisi 17 Februari 2011

Pengajaran Konsep Barisan dan Fungsi

August 9, 2010 Leave a comment

Komponen-komponen matematika selalu memiliki hubungan antara satu dengan yang lain. Namun kenyataan di sekolah, tidak jarang proses pembelajaran mengenai barisan khususnya barisan aritmetika dan barisan geometri dipaparkan secara terpisah dengan materi fungsi.

Konsep barisan (dan deret) muncul dalam Standar Isi pada kelas IX semester 2 dan kelas XII semester 2. Namun demikian, agaknya interpretasi KD dalam kedua bagian tersebut dapat saling tumpang tindih. Bisa terjadi, konsep yang telah diberikan di SMP, diulang kembali pada jenjang SMA. Belum lagi, pada jenjang SMA seperti terjadi “pengerdilan” konsep barisan yang hanya dibahas mengenai barisan aritmetika dan barisan geometri.

Mengenai konsep “fungsi” dalam Standar Isi muncul pada jenjang SMA pada kelas X semester 1. Dengan demikian, pengajaran konsep barisan di SMA sudah semestinya didasarkan pada “konteks fungsi”. Dengan kata lain, pembelajaran kontekstual konsep barisan di SMA adalah dengan penggunaan konsep fungsi. Inilah sebuah contoh kontektualitas pembelajaran yang tidak melulu dengan real-life contex. Lagi pula, konsep barisan bukan lagi konsep aritmetika, namun telah menjadi konsep aljabar. Karena itu, wajar sekali keterkaitannya dengan konsep aljabar lainnya.

Jika sebuah fungsi adalah perkawanan setiap anggota himpunan asal (domain) dengan tepat satu anggota himpunan kawan (kodomain), maka yang disebut barisan adalah fungsi dengan domain himpunan bilangan asli, khususnya himpunan segmen awal (1,2,3,4,…).

Oleh karena kekhasan pemilihan domain inilah, muncul penotasian yang khusus pula. Kita biasa menulis f(1), f(2) untuk fungsi namun sekarang cukup ditulis U1, U2, …  .

Siswa juga telah diperkenalkan dengan fungsi linier, f(x) = ax + b dan fungsi eksponensial. f(x) = ax dengan a ≠ 1. Sifat-sifat kedua fungsi ini pun telah pula dibahas sebelum kelas XII.  Dengan menggunakan konsep barisan sebagai fungsi, jelas bahwa barisan aritmetika merupakan salah satu contoh fungsi linier dan barisan geometri merupakan salah satu contoh fungsi eksponensial. Dengan demikian, sifat-sifat barisan tersebut diturunkan dari sifat-sifat fungsi linier dan fungsi eksponensial.

Jika pada pengajaran tradional, mungkin tidak mengenal “kurva barisan” maka dengan hubungan ini, kita dapat menampilkan grafik dari sebuah barisan, termasuk grafik barisan aritmetika dan grafik barisan geometri. Menampilkan modus geometris dapat memberikan alternatif variasi pembelajaran.

Demikian sekilas mengenai tema barisan dan fungsi, semoga bermanfaat.  (smd)

Layang-Layang yang bukan Layang-Layang

July 28, 2010 Leave a comment

Sudah bukan rahasia penelitian saja, bahwa miskonsepsi matematika banyak timbul karena kesalahan pedagogik. Entah disengaja atau pun tidak. Bila disengaja pun, tanpa memberi penjelasan yang cukup bagi siswa, sehingga siswa akhirnya terjebak pada miskonsepsi yang tidak perlu.

Pada kasus ini, kita berbicara mengenai konsep layang-layang. Apa yang dipahami guru dan siswa mengenai konsep “layang-layang” dalam geometri?

Barangkali beginilah rupa layang-layang yang biasa diajarkan guru.

Bagi guru yang lebih baik, beginilah rupa layang-layang yang diajarkan.

Untuk guru yang lebih baik lagi, rupa-rupa layang-layang ditampilkan seperti di bawah ini.

Umumnya, layang-layang didefinisikan sebagai sebuah bangun datar yang dibatasi/dibentuk oleh dua pasang sisi yang setiap pasangnya merupakan sisi-sisi yang sama panjang dan berpotongan di satu titik. Keadaan pasangan sisi yang sama panjang ini berbeda dengan sifat jajargenjang, di mana pasangan sisi sama panjangnya berhadapan (yaitu sejajar). Dengan definisi seperti itu, seharusnya ada rupa layang-layang yang mungkin belum diajarkan di sekolah. Berikut bentuknya.

Apakah bentuk ini layang-layang? Ya, lihatlah kembali definisi di atas. Bagaimana dengan rumus keliling dan rumus layang-layang yang telah diketahui, apakah masih tetap berlaku?

Jelas , tidak ada perubahan dengan rumus keliling layang-layang:  Bila panjang sisi pendek adalah a dan panjang sisi panjangnya adalah b maka keliling layang-layang adalah 2a + 2b atau 2(a + b).

Bagaimana dengan rumus luas daerah layang-layang? Bila panjang diagonal-diagonalnya d1 dan d2 maka luasnya adalah ½ d1.d2.

Perhatikan bahwa rumus ini juga berlaku untuk “layang-layang” aneh itu.

“Layang-layang” itu kita  bagi menurut diagonal simetrisnya (yaitu d2) menjadi 2 segitiga kongruen. Setiap segitiga itu luasnya ½. (d2. ½ d1) = ¼ d1.d2. Dengan menggabung kedua segitiga, diperoleh luas “layang-layang” ½ d1.d2.

Nah, persoalan sesungguhnya terletak pada kata “konveks”. Untuk poligon (termasuk segiempat), sifat konveks berarti memiliki sudut refleks (yaitu lebih dari 180o). Apa yang biasa diajarkan kepada siswa tentang layang-layang biasanya hanya dibatasi untuk bangun yang konveks. Jika tanpa keterangan sifat konveks maka seharusnya bangun “tanda panah” di atas termasuk apa yang kita sebut “layang-layang”.

Jadi, apakah bangun tanda panah di atas termasuk layang-layang? Tergantung pada Anda sebagai guru. (smd)

Membuat Pelajaran Matematika Menarik

July 26, 2010 Leave a comment

Banyak siswa tidak menyukai pelajaran matematika, merupakan sebuah fakta yang dapat diperbaiki melalui sebuah cara sederhana yang dapat dikerjakan oleh seorang guru ketika merencanakan dan melakukan pembelajaran matematika.  Ketika banyak siswa yang takut terhadap pelajaran matematika, atau terlihat bosan, seorang guru perlu melakukan segala sesuatu yang dapat membuat pelajaran matematika menarik.  Siswa yang menyukai pelajaran matematika mampu memperoleh hasil yang baik pada standar kompetensi yang telah ditentukan.  Oleh karena itu perlu bagi seorang guru untuk melakukan segala sesuatu untuk menolong siswa agar merasa senang dengan pelajaran matematika.

Jika seorang guru tidak menyenangi terhadap suatu subyek (pelajaran), maka para siswanya juga tidak akan menyenangi pembelajarannya.  Semakin banyak energi positif yang dimiliki seorang guru terhadap sebuah subyek (pelajaran), akan semakin menyenangkan pembelajarannya.  Seorang guru yang tidak menyukai matematika mempunyai tingkat energi yang lebih rendah dibandingkan seorang guru yang menyukai matematika.  Semakin banyak energi yang guru masukkan ke dalam perencanaan dan pembelajaran, akan menjadikan pelajaran semakin menyenangkan, sehingga siswa akan lebih antusias dan bergairah.

Ketika membuat perencanaan untuk pelajaran matematika, perlu mewujudkannya dengan kreatif, membentuk pelajaran matematika interaktif yang melibatkan para siswa dalam proses pembelajaran.  Jika memungkinkan, rencanakan aktifitas yang akan menjadikan siswa-siswa berdiri dan bergerak di dalam atau di sekitar kelas.  Beberapa tips untuk perencanaan (pembelajaran) matematika sebagai berikut:

  • Fokuskan pada satu kemampuan matematika guna menjamin kedalaman pembelajarannya
  • Antisipasi perlunya menyediakan bantuan tambahan untuk siswa-siswa yang memiliki kesulitan belajar
  • Rencanakan kegiatan tambahan untuk menjamin bahwa siswa-siswa berkemampuan maju memperoleh sesuatu yang menarik untuk dilakukan
  • Rencanakan permainan-permaian jika memungkinkan
  • Rencanakan kerja kelompok yang memberikan kesempatan bagi yang siswa-siswa yang maju membantu siswa-siswa yang lambat belajarnya.

Sumber:
http://lesson-plan help.suite101.com/article.cfm/how_to_make_math_class_fun#ixzz08qIutDSh

Prinsip-Prinsip Pembelajaran Matematika

July 17, 2010 Leave a comment

Pemecahan Masalah. Pemecahan masalah terkait masalah dan metode penyelesaiannya yang tidak biasa. Untuk menemukan penyelesaiannya, siswa harus memberdayakan pengetahuannya dan melalui proses ini mereka akan sering mengembangkan pemahaman baru. Pemecahan masalah tidak hanya merupakan tujuan dari pembelajaran matematika tetapi juga sebuah upaya besar untuk melakukan kegiatan matematika. Siswa akan mempunyai kesempatan untuk merumuskan, berpikir keras, dan memecahkan masalah rumit yang memerlukan usaha besar. Mereka akan didorong untuk merefleksikan pemikiran mereka. Pemecahan masalah merupakan sebuah bagian integral dari seluruh pembelajaran matematika.

Penalaran dan Pembuktian. Orang yang bernalar cenderung untuk mencatat pola, struktur, atau keberaturan di dalam situasi dunia nyata dan objek simbol. Mereka mempertanyakan apakah pola-pola tersebut adalah kebetulan ataukah terjadi karena suatu alasan, serta membuat dugaan dan membuktikan.  Pembuktian matematika adalah sebuah langkah formal dalam mengekspresikan penalaran dan pembenaran. Dapat diterima dengan nalar adalah penting untuk pemahaman matematika. Dengan pengembangan ide-ide, penggalian fakta, pengujian hasil, dan penggunaan dugaan yang masuk akal di dalam seluruh isi dan pada seluruh tingkatan, siswa akan mengenal dan merasakan bahwa matematika itu menyenangkan.

Komunikasi.  Komunikasi pemikiran dan nalar matematika adalah bagian penting dari pengembangan pemahaman. Ini merupakan sebuah jalan memadukan dan mengklarifikasi ide-ide. Dengan komunikasi, ide-ide menjadi objek refleksi, diskusi, dan terjadi proses pengujian dan penghalusan pemikiran. Proses komunikasi juga membantu membangun makna dan ketetapan untuk ide dan membuatnya tersebar. Ketika siswa ditantang untuk berpikir dan bernalar tentang topik dalam matematika dan mengkomunikasikan hasil pemikirannya kepada yang lain, mereka belajar memperjelas dan meyakinkan orang lain. Mendengar penjelasan dari yang lain juga memberikan siswa kesempatan untuk mengembangkan pemahaman mereka sendiri. Diskusi ide-ide matematika membantu siswa mempertajam kemampuannya untuk bernalar, menduga, dan membuat hubungan-hubungan.

Hubungan-hubungan. Begitu banyak individu yang mempersepsikan matematika sebagai kumpulan fakta-fakta dan prosedur yang terisolasi. Melalui kurikuler dan pengalaman setiap hari, siswa akan mengenal dan menggunakan hubungan-hubungan antara ide-ide matematika, terutama hubungan antara aljabar dengan geometri. Hubungan yang demikian membangun pemahaman konsep matematika secara komprehensif. Sebagai tambahan, siswa juga mengenal dan menerapkan matematika dalam konteks di luar matematika.  Siswa memerlukan pengalaman penerapan konsep-konsep dan representasi matematika untuk menggambarkan dan memprediksi kejadian di hampir semua disiplin akademik. (Spn)

Dirangkum dari:
http://www.nctm.org/standards/content.aspx?id=23273



Pedagogi vs Andragogi

Knowles (1970) mengembangkan konsep andragogi atas empat asumsi pokok yang berbeda dengan pedagogi. Keempat asumsi pokok itu adalah sebagai berikut.
Asumsi Pertama, seseorang tumbuh dan matang konsep dirinya bergerak dari ketergantungan total menuju ke arah pengarahan diri sendiri. Atau secara singkat dapat dikatakan pada anak-anak konsep dirinya masih tergantung, sedang pada orang dewasa konsep dirinya sudah mandiri.
Asumsi kedua, sebagaimana individu tumbuh matang akan mengumpulkan sejumlah besar pengalaman dimana hal ini menyebabkan dirinya menjadi sumber belajar yang kaya, dan pada waktu yang sama memberikan dia dasar yang luas untuk belajar sesuatu yang baru. Oleh karena itu, dalam teknologi andragogi terjadi penurunan penggunaan teknik transmital seperti yang dipakai dalam pendidikan tradisional dan lebih-lebih mengembangkan teknik pengalaman (experimental-technique). Maka penggunaan teknik diskusi, kerja laboratori, simulasi, pengalaman lapangan, dan lainnya lebih banyak dipakai.
Asumsi ketiga, bahwa pendidikan itu secara langsung atau tidak langsung, secara implisit atau eksplisit, pasti memainkan peranan besar dalam mempersiapkan anak dan orang dewasa untuk memperjuangkan eksistensinya di tengah masayarakat. Dengan perkataan lain, orang dewasa belajar sesuatu karena membutuhkan tingkatan perkembangan mereka yang harus menghadapi peranannya apakah sebagai pekerja, orang tua, pimpinan suatu organisasi, dan lain-lain. Kesiapan belajar mereka bukan semata-mata karena paksaan akademik, tetapi karena kebutuhan hidup dan untuk melaksanakan tugas peran sosialnya.
Asumsi keempat, bahwa anak-anak sudah dikondisikan untuk memiliki orientasi belajar yang berpusat pada mata pelajaran (subject centered orientation) karena belajar bagi anak seolah-olah merupakan keharusan yang dipaksakan dari luar. Sedang orang dewasa berkecenderungan memiliki orientasi belajar yang berpusat pada pemecahan masalah kehidupan (problem-centered-orientation).
Kempat asumsi dasar itulah yang dipakai sebagai pembanding antara konsep pedagogi dan andragogi. (smd-sumardyono)

Pustaka:
Knowles
, M. S. (1970, 1980) The Modern Practice of Adult Education. Andragogy versus pedagogy, Englewood Cliffs: Prentice Hall/Cambridge.