Archive

Author Archive

Al Khwarizmi

August 9, 2010 Leave a comment

Muhammad Musa Al Khwarizmi lahir di Khwarizm (Uzbekistan) dikenal sebagai Bapak Aljabar. Buku pertamanya berjudul al-Kitab al-mukhtasar fi hisab al-jabr wa’l-muqabala ditulis pada tahun 830. Buku ini dianggap sebagai naskah dasar dari aljabar modern. Buku ini menyajikan penyelesaian yang sempurna untuk persamaan polinomial hingga pangkat dua. Beliau memperkenalkan metode ‘pengurangan’ dan ‘keseimbangan’ dalam penyelesaian persamaan linear dan persamaan kuadrat.

Karya Al Khwarizmi dalam aritmetika menjadi sumber dalam mengenalkan angka Arab, berdasar sistem angka Hindu-Arab. Istilah “algoritma” diperoleh dari “algorism” , teknik aritmetika dengan angka Hindu-Arab yang dikembangkan oleh Al-Khwarizmi.

Dalam trigonometri, Al Khwarizmi membuat tabel fungsi trigonometri sinus dan kosinus, di samping juga membuat tabel pertama untuk tangen.  Beliau juga termasuk pelopor awal ‘spherical trigonometry’ (trigonometri bola).

Selain sumbangsihnya di bidang matematika, beliau juga banyak memberi peran dalam bidang astronomi, astrologi, dan geografi, (tt)

Sumber:http://en.wikipedia.org/wiki/ Muhammad_ibn_Mūsā_al-Khwārizmī.

Advertisements

Pengajaran Konsep Barisan dan Fungsi

August 9, 2010 Leave a comment

Komponen-komponen matematika selalu memiliki hubungan antara satu dengan yang lain. Namun kenyataan di sekolah, tidak jarang proses pembelajaran mengenai barisan khususnya barisan aritmetika dan barisan geometri dipaparkan secara terpisah dengan materi fungsi.

Konsep barisan (dan deret) muncul dalam Standar Isi pada kelas IX semester 2 dan kelas XII semester 2. Namun demikian, agaknya interpretasi KD dalam kedua bagian tersebut dapat saling tumpang tindih. Bisa terjadi, konsep yang telah diberikan di SMP, diulang kembali pada jenjang SMA. Belum lagi, pada jenjang SMA seperti terjadi “pengerdilan” konsep barisan yang hanya dibahas mengenai barisan aritmetika dan barisan geometri.

Mengenai konsep “fungsi” dalam Standar Isi muncul pada jenjang SMA pada kelas X semester 1. Dengan demikian, pengajaran konsep barisan di SMA sudah semestinya didasarkan pada “konteks fungsi”. Dengan kata lain, pembelajaran kontekstual konsep barisan di SMA adalah dengan penggunaan konsep fungsi. Inilah sebuah contoh kontektualitas pembelajaran yang tidak melulu dengan real-life contex. Lagi pula, konsep barisan bukan lagi konsep aritmetika, namun telah menjadi konsep aljabar. Karena itu, wajar sekali keterkaitannya dengan konsep aljabar lainnya.

Jika sebuah fungsi adalah perkawanan setiap anggota himpunan asal (domain) dengan tepat satu anggota himpunan kawan (kodomain), maka yang disebut barisan adalah fungsi dengan domain himpunan bilangan asli, khususnya himpunan segmen awal (1,2,3,4,…).

Oleh karena kekhasan pemilihan domain inilah, muncul penotasian yang khusus pula. Kita biasa menulis f(1), f(2) untuk fungsi namun sekarang cukup ditulis U1, U2, …  .

Siswa juga telah diperkenalkan dengan fungsi linier, f(x) = ax + b dan fungsi eksponensial. f(x) = ax dengan a ≠ 1. Sifat-sifat kedua fungsi ini pun telah pula dibahas sebelum kelas XII.  Dengan menggunakan konsep barisan sebagai fungsi, jelas bahwa barisan aritmetika merupakan salah satu contoh fungsi linier dan barisan geometri merupakan salah satu contoh fungsi eksponensial. Dengan demikian, sifat-sifat barisan tersebut diturunkan dari sifat-sifat fungsi linier dan fungsi eksponensial.

Jika pada pengajaran tradional, mungkin tidak mengenal “kurva barisan” maka dengan hubungan ini, kita dapat menampilkan grafik dari sebuah barisan, termasuk grafik barisan aritmetika dan grafik barisan geometri. Menampilkan modus geometris dapat memberikan alternatif variasi pembelajaran.

Demikian sekilas mengenai tema barisan dan fungsi, semoga bermanfaat.  (smd)

Mikrofon Parabola

August 9, 2010 Leave a comment

Mikrofon Parabola adalah mikrofon yang menggunakan sebuah pemantul (reflektor) parabola untuk mengumpulkan dan memfokuskan gelombang suara mengarah ke (alat) penerima, persis seperti antena parabola hanya saja dengan gelombang radio.

Mikrofon  parabola yang dapat menangkap suara dari jarak beberapa meter ini, memiliki beberapa kegunaan antara lain dalam pencatatan alam, audio lapangan untuk penyiaran olah raga, penyadapan, pelaksanaan hukum, dan spionase.

Mikrofon-mikrofon parabola umumnya tidak digunakan untuk aplikasi pencatatan standar (ilmiah) karena alat-alat tersebut cenderung mempunyai respon (penerimaan) frekuensi yang rendah sebagaimana konsekuensi dari desain bentuknya.  Hal ini merupakan hasil langsung dari hukum fisika tentang pengendalian gelombang suara.

Parabola hanya memfokuskan gelombang-gelombang dengan panjang gelombang yang lebih kecil dari diameternya.  Karena gelombang suara berjalan pada kecepatan 342 m/s di udara (kecepatan suara), untuk memperoleh suara berketelitian tinggi (paling rendah 20 Hz, batas bawah pendengaran manusia) memerlukan sebuah parabola dengan ukuran diameter lebih dari 17 meter yaitu 342 m/s ÷ 20 Hz.  Kebanyakan mikrofon parabola mengorbankan ketelitiannya (ketelitian rendah) untuk mendapatkan keterjangkauan ukuran. (spn)

Sumber: en.wikipedia.org/wiki/Parabolic_microphone

Layang-Layang yang bukan Layang-Layang

July 28, 2010 Leave a comment

Sudah bukan rahasia penelitian saja, bahwa miskonsepsi matematika banyak timbul karena kesalahan pedagogik. Entah disengaja atau pun tidak. Bila disengaja pun, tanpa memberi penjelasan yang cukup bagi siswa, sehingga siswa akhirnya terjebak pada miskonsepsi yang tidak perlu.

Pada kasus ini, kita berbicara mengenai konsep layang-layang. Apa yang dipahami guru dan siswa mengenai konsep “layang-layang” dalam geometri?

Barangkali beginilah rupa layang-layang yang biasa diajarkan guru.

Bagi guru yang lebih baik, beginilah rupa layang-layang yang diajarkan.

Untuk guru yang lebih baik lagi, rupa-rupa layang-layang ditampilkan seperti di bawah ini.

Umumnya, layang-layang didefinisikan sebagai sebuah bangun datar yang dibatasi/dibentuk oleh dua pasang sisi yang setiap pasangnya merupakan sisi-sisi yang sama panjang dan berpotongan di satu titik. Keadaan pasangan sisi yang sama panjang ini berbeda dengan sifat jajargenjang, di mana pasangan sisi sama panjangnya berhadapan (yaitu sejajar). Dengan definisi seperti itu, seharusnya ada rupa layang-layang yang mungkin belum diajarkan di sekolah. Berikut bentuknya.

Apakah bentuk ini layang-layang? Ya, lihatlah kembali definisi di atas. Bagaimana dengan rumus keliling dan rumus layang-layang yang telah diketahui, apakah masih tetap berlaku?

Jelas , tidak ada perubahan dengan rumus keliling layang-layang:  Bila panjang sisi pendek adalah a dan panjang sisi panjangnya adalah b maka keliling layang-layang adalah 2a + 2b atau 2(a + b).

Bagaimana dengan rumus luas daerah layang-layang? Bila panjang diagonal-diagonalnya d1 dan d2 maka luasnya adalah ½ d1.d2.

Perhatikan bahwa rumus ini juga berlaku untuk “layang-layang” aneh itu.

“Layang-layang” itu kita  bagi menurut diagonal simetrisnya (yaitu d2) menjadi 2 segitiga kongruen. Setiap segitiga itu luasnya ½. (d2. ½ d1) = ¼ d1.d2. Dengan menggabung kedua segitiga, diperoleh luas “layang-layang” ½ d1.d2.

Nah, persoalan sesungguhnya terletak pada kata “konveks”. Untuk poligon (termasuk segiempat), sifat konveks berarti memiliki sudut refleks (yaitu lebih dari 180o). Apa yang biasa diajarkan kepada siswa tentang layang-layang biasanya hanya dibatasi untuk bangun yang konveks. Jika tanpa keterangan sifat konveks maka seharusnya bangun “tanda panah” di atas termasuk apa yang kita sebut “layang-layang”.

Jadi, apakah bangun tanda panah di atas termasuk layang-layang? Tergantung pada Anda sebagai guru. (smd)

BARCODE

July 28, 2010 Leave a comment

Setiap kali kita berbelanja, barangkali kita biasa melihat pada kemasan barang, gambar berupa beberapa garis dengan ketebalan yang berbeda-beda. Pada pasar swalayan, gambar tersebut bahkan dapat dibaca oleh sebuah alat pada bagian kasir untuk mengetahui harga barang, merek, dan pabrikannya. Itulah yang dikenal dengan istilah barcode.  Paling tidak ada 2 jenis barcode, yaitu barcode untuk numerik (angka-angka) dan barcode untuk alphanumerik (dapat juga untuk huruf-huruf). Ada banyak jenis barcode dalam dunia industri, berikut beberapa jenis barcode untuk kata “ringan” dan bilangan 31415926535897 (atau kurang dari itu).

Dengan barcode system Code 39

Dengan barcode system Code 128

Dengan barcode system UPC(A)

Dengan barcode system UPC(E)

Dalam dunia industri perdagangan, sering dipergunakan sistem UPC (Universal Product Code). Kode inilah yang sering kita jumpai di produk perdagangan, dengan varian A, B, C, D, dan E.

Untuk membaca barcode tentu diperlukan alat khusus, yang sering disebut barcode reader. Cara membaca dengan bantuan sinar khusus dan sifat optik. Data yang diperoleh dapat ditampilkan di layar komputer dengan menginstall sofware khusus. (smd)

(sumber: www.wikipedia.com/barcode; corel draw)

Bilangan Hampir Bulat

July 26, 2010 Leave a comment

Banyak bentuk operasi pada bilangan di dalam matematika yang nilainya hampir bulat. Contohnya,  sin 11 = -0,999990206…  (hampir sama dengan ­-1).  Bilangan-bilangan hampir bulat dengan operasi-operasi tidak sederhana (bukan operasi Aritmetika biasa: tambah, kurang, kali, & bagi), seperti fungsi trigonometri, penarikan akar, logaritma, kaitan dengan bilangan-bilangan irrasional (e, p, dll) dalam matematika kadang disebut sebagai Bilangan Hampir Bulat (almost integer).  Satu yang menarik, bila kita melakukan perhitungan dengan bilangan-bilangan tsb kita bisa tertipu pada hasil perhitungannya, sekalipun menggunakan kalkulator (yang umumnya terbatasi pada ketelitian tidak lebih dari 10 atau 12 angka).  Contoh lainnya:
cos (ln (∏+20)) = -0,9999999992…(hampir -1)
22∏4 = 2143,000002748… (hampir 2143)
510 10log­ 7 = 431,00000040… (hampir 431)
3√2(√5 – 2) = 1,0015516… (hampir 1)
Sekarang cobalah menemukan panjang d pada bangun di bawah ini.

Jika Anda mencoba mengukurnya, maka Anda akan menjumpai bahwa d = 7. Tidak peduli, apakah Anda mengukur dalam ukuran meter lalu teliti hingga ke ukuran mikrometer sekalipun.  Karena, ukuran sesungguhnya d = 7,00000008574…

Aturan 11

July 26, 2010 Leave a comment

Anda semua tentu sudah tahu tentang aturan 10, yaitu untuk mengetahui hasil penggandaan 10 terhadap suatu bilangan cukup dengan menambahkan bilangan 0 di belakang bilangan tersebut.  Tetapi, tahukah anda tentang aturan 11, yaitu bagaimana mengetahui hasil penggandaan 11 terhadap suatu bilangan yang berdigit dua?  Ini sangat mudah, dan anda dapat melakukannya cukup di dalam pikiran anda.  Untuk pertama kali, anda dapat melakukannya di kertas dahulu.  Sebagai contoh, berapakah hasil penggandaan 11 terhadap 63 ?  Atau dengan kalimat lain, berapakah hasil dari 11 x 63 ?  Perhatikan baik-baik ’trik’ berikut ini:

  • Pisahkan digit 6 dan 3 sehingga terbentuk celah kosong di tengahnya (6_3)
  • Jumlahkan 6 dengan 3 sehingga menjadi 6 + 3 = 9
  • Letakkan bilangan 9 tersebut di celah kosong antara 6 dan 3 di atas sehingga menjadi 693
  • Diperoleh 11 x 63 = 693

Satu hal yang harus diingat dari trik ini adalah, apabila hasil penjumlahan dari dua bilangan yang dipisahkan tersebut bernilai lebih dari 9, maka bilangan yang harus anda letakkan di celah kosong adalah yang berdigit satuan.  Kemudian tambahkan bilangan yang berdigit puluhan kepada bilangan sebelah kiri dari bilangan yang dipisah.  Sebagai contoh, berapakah hasil dari 11 x 57 ?  Caranya:

  • Pisahkan 5 dengan 7 sehingga menjadi 5_7
  • Jumlahkan 5 dengan 7 sehingga menjadi 5 + 7 = 12, diperoleh 1 dan 2
  • Tambahkan 1 kepada 5, menjadi 5 + 1 = 6, serta letakkan 2 di antara 6 dan 7, menjadi 627

Diperoleh 11 x 57 = 627