Archive

Archive for July, 2010

Layang-Layang yang bukan Layang-Layang

July 28, 2010 Leave a comment

Sudah bukan rahasia penelitian saja, bahwa miskonsepsi matematika banyak timbul karena kesalahan pedagogik. Entah disengaja atau pun tidak. Bila disengaja pun, tanpa memberi penjelasan yang cukup bagi siswa, sehingga siswa akhirnya terjebak pada miskonsepsi yang tidak perlu.

Pada kasus ini, kita berbicara mengenai konsep layang-layang. Apa yang dipahami guru dan siswa mengenai konsep “layang-layang” dalam geometri?

Barangkali beginilah rupa layang-layang yang biasa diajarkan guru.

Bagi guru yang lebih baik, beginilah rupa layang-layang yang diajarkan.

Untuk guru yang lebih baik lagi, rupa-rupa layang-layang ditampilkan seperti di bawah ini.

Umumnya, layang-layang didefinisikan sebagai sebuah bangun datar yang dibatasi/dibentuk oleh dua pasang sisi yang setiap pasangnya merupakan sisi-sisi yang sama panjang dan berpotongan di satu titik. Keadaan pasangan sisi yang sama panjang ini berbeda dengan sifat jajargenjang, di mana pasangan sisi sama panjangnya berhadapan (yaitu sejajar). Dengan definisi seperti itu, seharusnya ada rupa layang-layang yang mungkin belum diajarkan di sekolah. Berikut bentuknya.

Apakah bentuk ini layang-layang? Ya, lihatlah kembali definisi di atas. Bagaimana dengan rumus keliling dan rumus layang-layang yang telah diketahui, apakah masih tetap berlaku?

Jelas , tidak ada perubahan dengan rumus keliling layang-layang:  Bila panjang sisi pendek adalah a dan panjang sisi panjangnya adalah b maka keliling layang-layang adalah 2a + 2b atau 2(a + b).

Bagaimana dengan rumus luas daerah layang-layang? Bila panjang diagonal-diagonalnya d1 dan d2 maka luasnya adalah ½ d1.d2.

Perhatikan bahwa rumus ini juga berlaku untuk “layang-layang” aneh itu.

“Layang-layang” itu kita  bagi menurut diagonal simetrisnya (yaitu d2) menjadi 2 segitiga kongruen. Setiap segitiga itu luasnya ½. (d2. ½ d1) = ¼ d1.d2. Dengan menggabung kedua segitiga, diperoleh luas “layang-layang” ½ d1.d2.

Nah, persoalan sesungguhnya terletak pada kata “konveks”. Untuk poligon (termasuk segiempat), sifat konveks berarti memiliki sudut refleks (yaitu lebih dari 180o). Apa yang biasa diajarkan kepada siswa tentang layang-layang biasanya hanya dibatasi untuk bangun yang konveks. Jika tanpa keterangan sifat konveks maka seharusnya bangun “tanda panah” di atas termasuk apa yang kita sebut “layang-layang”.

Jadi, apakah bangun tanda panah di atas termasuk layang-layang? Tergantung pada Anda sebagai guru. (smd)

BARCODE

July 28, 2010 Leave a comment

Setiap kali kita berbelanja, barangkali kita biasa melihat pada kemasan barang, gambar berupa beberapa garis dengan ketebalan yang berbeda-beda. Pada pasar swalayan, gambar tersebut bahkan dapat dibaca oleh sebuah alat pada bagian kasir untuk mengetahui harga barang, merek, dan pabrikannya. Itulah yang dikenal dengan istilah barcode.  Paling tidak ada 2 jenis barcode, yaitu barcode untuk numerik (angka-angka) dan barcode untuk alphanumerik (dapat juga untuk huruf-huruf). Ada banyak jenis barcode dalam dunia industri, berikut beberapa jenis barcode untuk kata “ringan” dan bilangan 31415926535897 (atau kurang dari itu).

Dengan barcode system Code 39

Dengan barcode system Code 128

Dengan barcode system UPC(A)

Dengan barcode system UPC(E)

Dalam dunia industri perdagangan, sering dipergunakan sistem UPC (Universal Product Code). Kode inilah yang sering kita jumpai di produk perdagangan, dengan varian A, B, C, D, dan E.

Untuk membaca barcode tentu diperlukan alat khusus, yang sering disebut barcode reader. Cara membaca dengan bantuan sinar khusus dan sifat optik. Data yang diperoleh dapat ditampilkan di layar komputer dengan menginstall sofware khusus. (smd)

(sumber: www.wikipedia.com/barcode; corel draw)

Bilangan Hampir Bulat

July 26, 2010 Leave a comment

Banyak bentuk operasi pada bilangan di dalam matematika yang nilainya hampir bulat. Contohnya,  sin 11 = -0,999990206…  (hampir sama dengan ­-1).  Bilangan-bilangan hampir bulat dengan operasi-operasi tidak sederhana (bukan operasi Aritmetika biasa: tambah, kurang, kali, & bagi), seperti fungsi trigonometri, penarikan akar, logaritma, kaitan dengan bilangan-bilangan irrasional (e, p, dll) dalam matematika kadang disebut sebagai Bilangan Hampir Bulat (almost integer).  Satu yang menarik, bila kita melakukan perhitungan dengan bilangan-bilangan tsb kita bisa tertipu pada hasil perhitungannya, sekalipun menggunakan kalkulator (yang umumnya terbatasi pada ketelitian tidak lebih dari 10 atau 12 angka).  Contoh lainnya:
cos (ln (∏+20)) = -0,9999999992…(hampir -1)
22∏4 = 2143,000002748… (hampir 2143)
510 10log­ 7 = 431,00000040… (hampir 431)
3√2(√5 – 2) = 1,0015516… (hampir 1)
Sekarang cobalah menemukan panjang d pada bangun di bawah ini.

Jika Anda mencoba mengukurnya, maka Anda akan menjumpai bahwa d = 7. Tidak peduli, apakah Anda mengukur dalam ukuran meter lalu teliti hingga ke ukuran mikrometer sekalipun.  Karena, ukuran sesungguhnya d = 7,00000008574…

Aturan 11

July 26, 2010 Leave a comment

Anda semua tentu sudah tahu tentang aturan 10, yaitu untuk mengetahui hasil penggandaan 10 terhadap suatu bilangan cukup dengan menambahkan bilangan 0 di belakang bilangan tersebut.  Tetapi, tahukah anda tentang aturan 11, yaitu bagaimana mengetahui hasil penggandaan 11 terhadap suatu bilangan yang berdigit dua?  Ini sangat mudah, dan anda dapat melakukannya cukup di dalam pikiran anda.  Untuk pertama kali, anda dapat melakukannya di kertas dahulu.  Sebagai contoh, berapakah hasil penggandaan 11 terhadap 63 ?  Atau dengan kalimat lain, berapakah hasil dari 11 x 63 ?  Perhatikan baik-baik ’trik’ berikut ini:

  • Pisahkan digit 6 dan 3 sehingga terbentuk celah kosong di tengahnya (6_3)
  • Jumlahkan 6 dengan 3 sehingga menjadi 6 + 3 = 9
  • Letakkan bilangan 9 tersebut di celah kosong antara 6 dan 3 di atas sehingga menjadi 693
  • Diperoleh 11 x 63 = 693

Satu hal yang harus diingat dari trik ini adalah, apabila hasil penjumlahan dari dua bilangan yang dipisahkan tersebut bernilai lebih dari 9, maka bilangan yang harus anda letakkan di celah kosong adalah yang berdigit satuan.  Kemudian tambahkan bilangan yang berdigit puluhan kepada bilangan sebelah kiri dari bilangan yang dipisah.  Sebagai contoh, berapakah hasil dari 11 x 57 ?  Caranya:

  • Pisahkan 5 dengan 7 sehingga menjadi 5_7
  • Jumlahkan 5 dengan 7 sehingga menjadi 5 + 7 = 12, diperoleh 1 dan 2
  • Tambahkan 1 kepada 5, menjadi 5 + 1 = 6, serta letakkan 2 di antara 6 dan 7, menjadi 627

Diperoleh 11 x 57 = 627

Membuat Pelajaran Matematika Menarik

July 26, 2010 Leave a comment

Banyak siswa tidak menyukai pelajaran matematika, merupakan sebuah fakta yang dapat diperbaiki melalui sebuah cara sederhana yang dapat dikerjakan oleh seorang guru ketika merencanakan dan melakukan pembelajaran matematika.  Ketika banyak siswa yang takut terhadap pelajaran matematika, atau terlihat bosan, seorang guru perlu melakukan segala sesuatu yang dapat membuat pelajaran matematika menarik.  Siswa yang menyukai pelajaran matematika mampu memperoleh hasil yang baik pada standar kompetensi yang telah ditentukan.  Oleh karena itu perlu bagi seorang guru untuk melakukan segala sesuatu untuk menolong siswa agar merasa senang dengan pelajaran matematika.

Jika seorang guru tidak menyenangi terhadap suatu subyek (pelajaran), maka para siswanya juga tidak akan menyenangi pembelajarannya.  Semakin banyak energi positif yang dimiliki seorang guru terhadap sebuah subyek (pelajaran), akan semakin menyenangkan pembelajarannya.  Seorang guru yang tidak menyukai matematika mempunyai tingkat energi yang lebih rendah dibandingkan seorang guru yang menyukai matematika.  Semakin banyak energi yang guru masukkan ke dalam perencanaan dan pembelajaran, akan menjadikan pelajaran semakin menyenangkan, sehingga siswa akan lebih antusias dan bergairah.

Ketika membuat perencanaan untuk pelajaran matematika, perlu mewujudkannya dengan kreatif, membentuk pelajaran matematika interaktif yang melibatkan para siswa dalam proses pembelajaran.  Jika memungkinkan, rencanakan aktifitas yang akan menjadikan siswa-siswa berdiri dan bergerak di dalam atau di sekitar kelas.  Beberapa tips untuk perencanaan (pembelajaran) matematika sebagai berikut:

  • Fokuskan pada satu kemampuan matematika guna menjamin kedalaman pembelajarannya
  • Antisipasi perlunya menyediakan bantuan tambahan untuk siswa-siswa yang memiliki kesulitan belajar
  • Rencanakan kegiatan tambahan untuk menjamin bahwa siswa-siswa berkemampuan maju memperoleh sesuatu yang menarik untuk dilakukan
  • Rencanakan permainan-permaian jika memungkinkan
  • Rencanakan kerja kelompok yang memberikan kesempatan bagi yang siswa-siswa yang maju membantu siswa-siswa yang lambat belajarnya.

Sumber:
http://lesson-plan help.suite101.com/article.cfm/how_to_make_math_class_fun#ixzz08qIutDSh

Cara Kalkulator Menghitung Sinus

July 25, 2010 Leave a comment

em

Zaman sekarang, kalkulator kita sudah canggih. Salah satu fungsi yang menakjubkan adalah bisa menghitung fungsi sinus, cosinus, arcus, dsb. Penasarankah dengan cara kerja kalkulator itu? Bagaimana kalkulator menghitung  nilai  seperti  sin 50 ataupun  cos15,50 dengan sangat akurat?

Kalkulator menggunakan prinsip deret taylor untuk menghitungnya. Masih ingatkah dengan formula Deret Taylor?

Nah, jika sekarang kita tetapkan dan , maka:

… (dan seterusnya — akan berulang).

Dengan demikian, fungsi dapat ditulis menjadi fungsi polinomial sbb.


Mari kita gunakan contoh.  Hitung  tanpa menggunakan kalkulator!  Jawab: Kita konversikan dulu ke dalam radian.
Karena 

Maka, rad

Kemudian, masukan angka yang sudah dikonversi ke radian itu ke deret tailor sinus (Kita cukup memasukkan hingga suku ke-4 saja, mengingat perhitungan hingga tak berhingga itu sulit dan 4 suku juga sudah sangat akurat). Hasilnya pun didapat.

Catatan: kita juga dapat memperoleh keakuratan yang lebih tinggi dengan memasukkan ke suku-suku berikutnya…

Sumber:

http://hendrydext.blogspot.com/2009/01/cara-kalkulator-menghitung-sinus.html

Prinsip-Prinsip Pembelajaran Matematika

July 17, 2010 Leave a comment

Pemecahan Masalah. Pemecahan masalah terkait masalah dan metode penyelesaiannya yang tidak biasa. Untuk menemukan penyelesaiannya, siswa harus memberdayakan pengetahuannya dan melalui proses ini mereka akan sering mengembangkan pemahaman baru. Pemecahan masalah tidak hanya merupakan tujuan dari pembelajaran matematika tetapi juga sebuah upaya besar untuk melakukan kegiatan matematika. Siswa akan mempunyai kesempatan untuk merumuskan, berpikir keras, dan memecahkan masalah rumit yang memerlukan usaha besar. Mereka akan didorong untuk merefleksikan pemikiran mereka. Pemecahan masalah merupakan sebuah bagian integral dari seluruh pembelajaran matematika.

Penalaran dan Pembuktian. Orang yang bernalar cenderung untuk mencatat pola, struktur, atau keberaturan di dalam situasi dunia nyata dan objek simbol. Mereka mempertanyakan apakah pola-pola tersebut adalah kebetulan ataukah terjadi karena suatu alasan, serta membuat dugaan dan membuktikan.  Pembuktian matematika adalah sebuah langkah formal dalam mengekspresikan penalaran dan pembenaran. Dapat diterima dengan nalar adalah penting untuk pemahaman matematika. Dengan pengembangan ide-ide, penggalian fakta, pengujian hasil, dan penggunaan dugaan yang masuk akal di dalam seluruh isi dan pada seluruh tingkatan, siswa akan mengenal dan merasakan bahwa matematika itu menyenangkan.

Komunikasi.  Komunikasi pemikiran dan nalar matematika adalah bagian penting dari pengembangan pemahaman. Ini merupakan sebuah jalan memadukan dan mengklarifikasi ide-ide. Dengan komunikasi, ide-ide menjadi objek refleksi, diskusi, dan terjadi proses pengujian dan penghalusan pemikiran. Proses komunikasi juga membantu membangun makna dan ketetapan untuk ide dan membuatnya tersebar. Ketika siswa ditantang untuk berpikir dan bernalar tentang topik dalam matematika dan mengkomunikasikan hasil pemikirannya kepada yang lain, mereka belajar memperjelas dan meyakinkan orang lain. Mendengar penjelasan dari yang lain juga memberikan siswa kesempatan untuk mengembangkan pemahaman mereka sendiri. Diskusi ide-ide matematika membantu siswa mempertajam kemampuannya untuk bernalar, menduga, dan membuat hubungan-hubungan.

Hubungan-hubungan. Begitu banyak individu yang mempersepsikan matematika sebagai kumpulan fakta-fakta dan prosedur yang terisolasi. Melalui kurikuler dan pengalaman setiap hari, siswa akan mengenal dan menggunakan hubungan-hubungan antara ide-ide matematika, terutama hubungan antara aljabar dengan geometri. Hubungan yang demikian membangun pemahaman konsep matematika secara komprehensif. Sebagai tambahan, siswa juga mengenal dan menerapkan matematika dalam konteks di luar matematika.  Siswa memerlukan pengalaman penerapan konsep-konsep dan representasi matematika untuk menggambarkan dan memprediksi kejadian di hampir semua disiplin akademik. (Spn)

Dirangkum dari:

http://www.nctm.org/standards/content.aspx?id=23273



Follow

Get every new post delivered to your Inbox.